Question

高等数学，导数定义的问题。

我尝试把分子前后都凑一个f(0)，然后利用导数定义，得到af'(0)-'(0)=(a-1)'(0)=b
得到f'(0)=b/(a-1),和同学讨论说解法有问题，不能拆开用导数定义。
请问本题既然不能在分子前后凑出f(0)利用导数定义，该怎样解答。
谢谢各位。
我尝试用等价无穷小去掉极限。

Answer 1

这里是证明x=0是的导数存在，只能利用定义

追问

给谢谢你的回答，但是给出的答案仍是f'(0)=b/(a-1)，困惑啊

Answer 2

当然不能用你的方法证明了。证明导数存在必须要通过定义的，你用的罗比达法则前期就已经默认了是导数存在的，就变成了条件是导数存在结论也是导数存在，也就失去了意义。
由于lim[f（ax）-f(b)]/x=b
说明limf（ax）-f（b）=0，否则极限就是无穷大
所以f（0）=f（b）
所以原等式化为lim[f（ax）-f(0)]/x=b
alim[f（ax）-f(0)]/ax=af′（0）=b。。。。。。。根据定义
所以f′（0）存在并且等于b/a

追问

给谢谢你的回答，但是给出的答案仍是f'(0)=b/(a-1)，困惑啊

追答

我基本上可以确定答案错了。。。你那个解法不合理，但是结果应该还是一样的，f′（b）=0，而不是等于f′（0）。

Answer 3

看起来是你自己把题写错了，分子上的f(b)应该是f(x)吧？这样的话，这就是一道错题了，比如f(x)=|x|，a取作2，则lim(x→0) (f(2x)-f(x))/x＝0。但是|x|在x=0处不可导。

Answer 4

先用连续的定义证明f(0) = f(b)，　再证明f'(0)存在，再求　，貌似是b/a