Question

高阶导数

一下问题基本就是一个问题，我觉得自己概念理解很不清楚，
请详细解释。我懂了就加分
1.已知dx/dy=1/y',求d^2 x/dy^2
解=d/dy(dx/dy)=d/dy(1/y')这步我还看的懂
=d/dx(1/y')* dx/dy不懂
是不是和复合函数有关，哪一个是中间变量，怎么看
不涉及高阶的复合函数我会求导，但抽象的就不会。

2. f(x^2)'不等于f'(x^2) 前者是f(x^2)对x的导数，后者=f'(u)| u=x^2
能举个例子解释吗

3.已知y=f(x^2)求y'
解y'=f'(x^2)*(x^2)'=2x*f'(x^2)这是复合函数求导法则
如果我设f(x)=x, 那么y=f(x^2)=x^2，y'=2x和上面做出来的不符

困惑至极
关于第一问，从链式法则角度让我理解。

Answer 1

y是自变量为x的函数，根据导函数的定义，y'也是自变量为x的函数，那么1/y'自然也是自变量为x的函数。根据导数的定义它只能对自变量x求导数，而d(1/y')/dy是要它对y求导数，这是不能直接求的，因为我的函数式里根本就没有你这个变量y.但是函数1/y'的自变量x却是自变量为y的函数。那么，根据复合函数求导法则，视x为中间变量得：d(1/y')/dy=d(1/y')/dx·dx/dy

Answer 2

第一问，初学者都很迷茫，个人感觉你要先明白各个式子的意思，然后就是看题目已知的是什么要求的是什么，最后就是把所求的东西往已知上靠，一般抽象的都是复合和求偏导，后者稍微难理解。题中有y'就是对x的导数，已经给出dx/dy，可是式子第一步出来了d/dy()，这个题中没有也不是要求，这就要求你能往已知的条件上靠了，可以分子分母同时乘以dx这是发现出来了dx/dy，也有d/dx这个就是对x求导而正好也有y‘，这时问题就很容易了。还是那句话弄明白每个式子的意思（所代表的是什么），看题目给的条件和要求的，最后化所求。思路清晰才能做出这类题

Answer 3

1
=d/dx(1/y')* dx/dy
就是分子和分母都乘以一个dx而已呀
---所谓链式法则的原理也是从此而来：除以一个微分，再乘以同一个微分，
然后根据需要组合，就这样形成了一个“链”
例如dy/dt=(dy/du)*(du/dt)
基本原理就是分子和分母都乘以同一个微分。

2
eg
sin(x^2) ' = cos(x^2) · (x^2)' = 2x·cos(x^2)

3
设f(x)=x, 那么y=f(x^2)=x^2
y'=f'(x^2)·(x^2)‘ = 1·(x^2)’ = 1· 2x
这里f'(x^2)=f'(u)=u'=1，只对u本身求导