Question

已知数列an满足：a1=-1/2，an^2+(a(n+1) +2)*an+2a(n+1) +1=0

求证：
（1）－1<an<0；
（2）a2n>a2n－1¬对一切n∈N＊都成立；
（3）数列{ a2n－1}为递增数列．
不要复制，高手帮我详细地解答一下，非常感谢。

Answer 1

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（1）化简得a（n+1）=-（an+1）/（1+1/（an+1)）=-1/（1/（an+1）^2+1/（an+1）)
下面用数学归纳法：假设－1<an<0 ∵结合函数f（x）=x^2+x得1/（an+1）^2+1/（an+1）∈（2，+∞）所以a（n+1）∈（-1/2,0）即对于任意n都有－1<an<0
（2）题干不清楚
（3）若数列{ a2n－1}为递增数列，则a2n-1＜a（2n-1）-1即要证{ a2n}递减∴可证{ a2n}递减∵a（n+1）=-1/（1/（an+1）^2+1/（an+1）)若an＞a（n+1)则an*（1/（an+1）^2+1/（an+1）)＞-1 化简得2an^2+3an+2＞0∵△＜0∴2an^2+3an+2＞0成立，即证