Question

如图,在△ABC中.D是BC的中点.DF⊥AC于F ，DE⊥AB于E，且BE=CF,求证：AD平分∠BAC

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Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
解答：
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
点评：本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．

Answer 2

证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB＝∠DFC＝90
∵D是BC的中点
∴BD＝CD
∵BE＝CF
∴△BDE≌△CDF （HL）
∴∠B＝∠C
∴AB＝AC
又∵D是BC的中点
∴AD平分∠BAC （等腰三角形三线合一）

Answer 3

证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．