Question

数学证明题

如图2，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上.
（1）求证：平面COD⊥平面AOB;
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小.

Answer 1

【分析】

（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．

（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可。

【解答】

解：

（1）

∵Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到

∴CO⊥AO，BO⊥AO

又∵二面角B-AO-C是直二面角

∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角

∴∠BOC=90°

∴CO⊥BO，又AO∩BO=O

∴CO⊥平面AOB

∵CO⊂面COD

∴平面COD⊥平面AOB

（2）

作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO

 

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角

在 Rt△COE中

CO=BO=2，OE=(1/2)BO=1

∴CE=√(CO²+OE²)=√(2²+1²)=5

又∵DE=(1/2)AO=√3

∴CD=√(CE²+DE²)=2√2 

∴在Rt△CDE中

cos∠CDE=DE/CD=√3/2√2=√6/4 

∴异面直线AO与CD所成角为arcos√6/4。