Question

设函数f(x)=n^2*x^2*(1-x)^n(n为正整数),则f(x)在【0,1】上的最大值为?求解

Answer 1

因为 0<=x<=1 ，则 0<=1-x<=1 ，
所以，由均值不等式得，
f(x)=4*(nx/2)^2*(1-x)^n<=4*{[nx/2+nx/2+(1-x)+(1-x)+...+(1-x)]/(2+n)}^(n+2)=4*[n/(n+2)]^(n+2) ，
当 nx/2=1-x 即 x=2/(n+2) 时，函数有最大值 4*[n/(n+2)]^(n+2) 。

追问

f(x)=4*(nx/2)^2*(1-x)^n<=4*{[nx/2+nx/2+(1-x)+(1-x)+...+(1-x)]/(2+n)}^(n+2)=4*[n/(n+2)]^(n+2) 这个式子怎么得到的？均值不等式是这样的？

追答

均值不等式要求一正二定三相等，就是要往这方面去努力地配凑，使之符合那三个条件。

追问

我做的这道题是选择题，答案是4*[n/(n+2)]^(n+1) 。跟你的不一样啊

追答

你那答案估计是印错了。确实是 4*[n/(n+2)]^(n+2) 。
你可以把 x=2/(n+2) 代入求值。