Question

高数概率问题：随机地想半圆0<y<根号2ax-x^2内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比

用X表示原点到该点连线与X轴正方向的夹角，求X的概率密度

Answer 1

很容易看出直线

y1 = x Tan[π/4]与

y = √(2ax-x^2)的两个交点

(0,0)和(a,a),

在x∈(0,a)区间内,y1<y,

在x>a时,y1>y,

所以半圆内不符合要求的点只会出现在x∈(0,a)之间,

x∈(0,a)总面积π a^2 /4,

符合条件的面积为三角形面积a^2 /2,

在x>a范围内,总面积π a^2 /4,

都符合条件.

于是符合条件的面积为π a^2 /4 + a^2 /2,

总面积π a^2 /2

符合条件的概率: 

(π a^2 /4 + a^2 /2)/(π a^2 /2)

=1/2 + 1/π

=0.81831