Question

设定义在r上的函数f(x)对于任意x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立且f(1)＝﹣2当x＞0时f(x)＜0

(1)判断f(x)的奇偶性，并加以证明
(2)试问：当-2009=<x<＝2009时，f(x)是否有最值，并说明理由。

Answer 1

1、f(x)对于任意x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立
令x=x，y=0，则有f(x)＝f(x)＋f(0)
所以f(0)=0,
令y=-x则f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,即对任意x都有
f(x)=-f(-x),则f(x)是奇函数。
2、对任意x，令y=1
则f(x+1)=f(x)+f(1)
即f(x+1)-f(x)=f(1)=-2<0
所以f(x)单调递减。
由上知f(x)是单调递减的奇函数
所以在[-2009,2009]内有最值
且最大值为f(-2009),最小值为f(2009) ；
将f(x)中x取值为n整数，f(n+1)-f(n)=f(1)=-2
等差数列求值即可，
f(2009)=-2+2008×(-2)=-4018
f（-2009）=4018 。

Answer 2

对于任意x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立
取x=y=0
∴f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0),∴f(0)=0
取y=-x
∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
（2）
任取x1<x2,x2-x1>0
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵x>0时，f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)是减函数
∴当-2009=<x<＝2009时
x=-2009时，f(x)取得最大值
x=2009时，f(X)取得最小值
∵f(1)=-2
∴f(2)=f(1)+f(1)=-4
f(3)=f(2)+f(1)=f(2)-2
f(n+1)-f(n)=f(1)=-2
∴f(n)为等差数列，公差为-2
∴f(2009)=-2+2008×(-2)=-4018
∴ f（-2009）=4018

Answer 3

解：当x=y=0时，有f(0)=2f(0)，得f(0)=0
故f(x-x)=f(x)+f(-x)，有f(x)=-f(-x)，从而f(x)为奇函数；
f(x)有最值，最值为f(-2009)=4018