Question

已知f(x)是R上的增函数，a,b∈R。（1）证明若a+b≥0则f(a)＋f(b)≥f(﹣a)＋f(﹣b);

(2)问:(1)中命题的逆命题是否成立？并证明。

Answer 1

成立，逆命题与否命题同真假
否命题：a+b<0,f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
a+b<0,a<-b,b<-a
因为f(x)增，f(a)<f(-b),f(-b)<f(a),所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
所以逆命题成立

Answer 2

分析：（1）根据逆命题的定义写出命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的逆命题，再进行证明；
（2）写出命题的逆否名，由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真，利用f（x）在R上是增函数，进行证明；解答：解：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0，真命题．
用反证法证明：
设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），这与题设f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以逆命题为真．
（2）逆否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
则a+b＜0，为真命题．
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a，
又∵f（x）在R上是增函数，
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）．
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
∴原命题真，故逆否命题为真．