Question

微积分中导数的定义运用问题

1.设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是：（A）h趋向于0 lim f（1-cosh）/h平方存在；（B）h趋向于0 lim f(1-e的h次方)/h存在；（C）h趋向于0 lim f(h-sinh)/h的平方存在；（D））h趋向于0 lim f[（2h）-f（h）]/h存在。。答案是B,我想知道为什么其他三项是错误的，分别错在哪？
2.设x趋向于a lim[f(x)-b]/(x-a)=A,则[sinf(x)-sinb]/(x-a)=多少。。我看答案一开始就是补充定义f(a)=b，为什么可以这样补充呢？没有f（x）连续的前提呀！事实上，f（a）不一定=b吧？而且换算后有x趋向于a lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′ |x=a，可以这样写吗？没有f(x)函数可导的前提呀！只是在a点可导而已呀，那我怎么对sinf（x）求导后代入x=a呢？？
谢谢！

Answer 1

根据导数的定义式lim(h->0)f(x+h)-f(x)/h 式中注意两点：3个h必须一样且可以->0+ 和0- f(x)为确定的函数值 据此分析选项就可以了
A lim(1-cosh) f(1-cosh)(1-coosh)/(1-cosh)h 1-cosh只能->0+ C和A一样的错误 D中没有f(0)这一项

补充定义是为了凑出导数的定义式 lim[sinf(x)-sinf(a)]/(x-a)=[sinf(x)]′ |x=a这样写的前提是sinf(x)在a点可导 由补充的定义知f(x)在x=a处可导 所以sinf(x)在x=a处可导

追问

不好意思，1题中的D是分子是f(2h)-f(h),分母是h。f(0)=0的，可以自己加进去2个f(0)吗？然后拆成2项。。C项中h-sinh是恒大于0，即分母恒大于0，所以错吧？
第2题中，这样凑可以吗？题目没有出现这个条件的呀！这不就是特例法了吗？但这是填空题，用特例？令b=f(a)呢？

追答

D f(2h)-f(0)-(f(h)-f(0))/h=(f(2h)-f(0))/h-(f(h)-f(0))/h(这步可以拆分的前提是这两个极限分别存在，也就是导数存在 这只是个必要条件)
2 导数的定义式lim(x->a)f(x)-f(a)/(x-a) 这里是为了凑出定义式才这样令的 能解决问题就行有没说不等让你这么令 事实上这种补充定义很常见，在洛比达法则的证明中也有