Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=a(a≠0），a(n+1)=rSn,(n∈N*,r∈R,r≠-1）。

1、求数列{an}的通项公式
2、若存在k∈N*,使得S(k+1)，Sk,S(k+2),成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*,且m≥2，a(m+1),am,a(m+2)是否成等差数列，并证明你的结论。

Answer 1

解：（I）由已知an+1=rSn，则an+2=rSn+1，两式相减得

an+2-an+1=r（Sn+1-Sn）=ran+1

即an+2=（r+1）an+1

又 a2=ra1=a

∴当r=0时，数列{an}为：a，0，0，…；

当r≠0时，由r≠-1，a≠0，∴an≠0

由an+2=（r+1）an+1得数列{an}从第二项开始为等比数列

∴当n≥2时，an=r（r+1）n-2a

综上数列{an}的通项公式为an= a，n=1 r(r+1)n-2a ，n≥2  （II） 对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列，理由如下：

当r=0时，由（I）知，an= a，n=1 0，n≥2   

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列；

当r≠0，r≠-1时

∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2，Sk+1=Sk+ak+1

若存在k∈N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差数列，则2Sk=Sk+1+Sk+2

∴2Sk=2Sk+ak+2+2ak+1，即ak+2=-2ak+1

由（I）知，a2，a3，…，an，…的公比r+1=-2，于是

对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1=-2am，从而am+2=4am，

∴am+1+am+2=2am，即am+1，am，am+2成等差数列

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2成等差数列．

 

 

可能你看的不是很清楚！请+我HI我发图片给你行不？ 

Answer 2

1.a(n+1) = S(n+1)-Sn = rSn
所以S(n+1) = (r+1)Sn,即{Sn}成等比数列
由于S1 = a1 = a
所以Sn = a*(r+1)^(n-1)
进而a(n) = Sn -S(n-1) = ar*(r+1)^(n-2), n≥2,a1 = a
2.是
对m≥2， a(m+1) + a(m+2) - 2 * am = r[Sm + S(m+1) - 2 * S(m-1)]
= r * (r+1)^(m-k-1)[S(k+1) + S(k+2) - 2 * Sk]

= 0,即成等差数列