Question

已知f(x)在（0，正无穷）上是增函数，且f(x)＞0，f(3)=1,

判断g(x)=f(x)+｛1/［f(x)］｝在（0,3］上是增函数还是减函数，并证明

Answer 1

设0<x1<x2<=3

因为f(x)是增函数，且f(x)>0。

所以，0<f(x1)<f(x2)<=f(3)=1。

1/[f(x1)f(x2)]>1

g(x1)-g(x2)

=[f(x1)+1/f(x1)]-[f(x2)+1/f(x2)]

=[f(x1)-f(x2)]+[1/f(x1)-1/f(x2)]

=[f(x1)-f(x2)]-[f(x1)-f(x2)]/[f(x1)f(x2)]

=[f(x1)-f(x2)]{1-1/[f(x1)f(x2)]}

>0

所以，g(x1)>g(x2)。

g(x)=f(x)+1/f(x)在区间(0,3]上是减函数。

Answer 2

这是钩子函数的单调性问题，因为f(3)=1 所以f(x)在（0,3］等价于自变量x在（0,1］上的单调性
所以为减函数

Answer 3

单调性不一定
比如f(x) = x^2/9
g(x) = x^2/9 + 9/x^2在(0,3]上是单调减的
又比如取
f(x) = 3/10 (x+1/x)
g(x) = f(x)+1/f(x)的单调性就很复杂，在(0,3]上是先减，然后增，然后又减