Question

已知等差数列﹛an﹜的首项a1＝1，公差d＞0，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn｝的第2项，第3项，第4项

﹙1﹚求数列﹛an﹜与﹛bn﹜的通项公式
﹙2﹚设数列﹛cn﹜对任意n∈N*都有c1／b1＋c2／b2＋…＋cn／bn＝a﹙n＋1﹚成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2005

Answer 1

an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d
a2=1+d=b2
a5=1+4d=b3
a14=1+13d=b4
b2=b1*q=1+d
b3=b1*q²=1+4d
b4=b1*q³=1+13d
可得d=0（舍去）或d=2
q=d+1=3 b1=1
an=1+(n-1)2=2n-1
bn=3^(n-1)

c1／b1＋c2／b2＋…＋cn／bn＝a﹙n＋1﹚

a﹙n＋1﹚=1+2n

c1/b1+c2/b2+c3/b3+……+cn/bn=2n+1
设cn/bn为新的数列gn
S(gn)=2n+1
gn=Sgn-Sgn-1=2
∴cn/bn=2
cn=2*3^(n-1)
Sc2005=3^2005-1

Answer 2

a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d,(a1+4d)^2=(a1+d)（a1+13d),a1=1,求出d=2,则an=2n-1
b2=a2=3,b3=a5=9,b4=a14=27,则公比为3，从而b1=1,bn=3^(n-1)

追问

第二问呢？

追答

设数列﹛cn﹜对任意n∈N*都有c1／b1＋c2／b2＋…＋cn／bn＝a﹙n＋1﹚成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2005
对于任意n∈N都成立，则n=1成立，则由上知b1=1，b2=3，b3=9，则代入当n=1时有c1=2a,同理当n=2,n=3时可知c2=3a,c3=9a,c4=27a,从而cn是从第二项开始以后是以公比为3的等比数列，则c1＋c2＋c3＋…＋c2005=2a+9a+27a+...+3^2004a，然后后面提出a，再用用等比数列求和公式即可求出结果了

Answer 3

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