Question

请教一道有关黄金三角形的数学问题，要有完整解答，最好配图。

问题：在数学上，顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形，它的底边和一腰的长为黄金比，即（√5－1）／2。如图，⊿ABC是黄金三角形，∠A=36°，AB=AC，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且ED=EB。（3）若点E在直线AC上，点D在直线BC上，BC=1，AE=2AC，求BD的长。
注意：根据参考答案提示，本题有两解：1或3.

Answer 1

1)这是BD=3的情况，

作高，两三角形全等

所以CG=FG=1/2,

所以BG=1+1/2=3/2

所以BD=2BG=3

2)这是BD=1的情况

作高，利用相似CA/CE=CK/CJ=1/3

解得CJ=3/2

所以BJ=1/2

所以BD=2BJ=1

Answer 2

现在正在做这张数学模拟卷的倒数第二题，估计提问者是高我一届的学长啊~

Answer 3

解
延长AC到点E, 使得AC=CE.
再在BC上取F点，使得BC=CF=1.

易知ΔABC≌ΔEFC
∴EF=AB=AC=CE
∴ΔECF是等腰三角形，底边CF=1
又ΔEBD也是等腰三角形。
可以证明：ΔEBC≌ΔEDF
∴DF=BC=1,
∴BD=3

追问

根据书后参考答案提示，本题应有两解1或3，但不知如何而来？请解惑，谢谢！

追答

童鞋，你好。
另一种情况，就是E点在CA的延长线上。
在CA的延长线上，取点E,使得AE=2AC.
易知此时点D在CB的延长线上，
作EH⊥BD,H为垂足。
易知，BH=HD=½BD,
且∠C=72º.
cos∠C=CH/CE=CH/(3AC)
∴CH=3AC×cos∠C, 又CH=CB+BH=1+BH=1+(BD/2)
∴1+(BD/2)=3AC×cos∠C
∴BD=6AC×cos72º-2

在黄金三角形中，底边=1时，易知，腰长AC=(1+√5)/2

结合余弦定理，可求得：
cos72º=(-1+√5)/4
代入上面式子，可得；
BD=6×[(1+√5)/2]×[(-1+√5)/4]-2
=3-2
=1

追问

这是一道初中几何题，解法不会那么复杂的吧？能不能做得简捷些，尽量不要用到高中数学知识（如：余弦定理等）？

追答

这是一道竞赛题吧？
或不低于竞赛水平的题吧？
可以，允许使用余弦定理。

追问

这不是一道竞赛题，这仅是中考模拟卷倒数第2题，故用不到那么复杂繁难的方法。

追答

好吧。

Answer 4

∵AE=2AC ∴E在BD下方 且CA=CE
在CD上截取CF=BC=1 连接AF
∵CA=CE CF=CB
∴四边形ABEF为平行四边形
∴EF=AB=AC=CE
∵∠ECD=∠ACB=72°
∴∠CFE=∠ECD=72°
∴∠BCE=∠DFE=180°-72°=108°
又BE=ED 则 ∠CBE=∠D 且EF=CE
∴△BCE≌△DFE
∴FD=BC=1
又CF=CB=1
∴BD=BC+CF+DF=1+1+1=3

希望可以帮到你。

追问

根据书后参考答案提示，本题应有两解1或3，但不知如何而来？请解惑，谢谢！回答“∵AE=2AC ∴E在BD下方”似乎有误！

追答

啊 E也可能在BC上方的。。在CA延长线上，不好意思啊。

追问

麻烦请给出另一种情况的初等解法，谢谢！

Answer 5

123

追问

什么意思？不合提问要求嘛！

Answer 6

已知ΔABC≌ΔEFC
∴EF=AB=AC=CE
∴ΔECF是等腰三角形，底边CF=1
又ΔEBD也是等腰三角形。
可以证明：ΔEBC≌ΔEDF
∴DF=BC=1,
∴BD=3