Question

如图,已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率为根号3/2,且过A（0,1）

（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆与M,N两点，求证：直线MN恒过定点P（0，-3/5)

Answer 1

解：∵x²/a²+y²/b²=1
∴把A（0，1）代入x²/a²+y²/b²=1，得b=1
又∵c/a=√3/2，a²-1=c²解得a=2，c=√3
∴x²/4+y²=1

这时候椭圆方程：x²/4+y²=1即x²+4y²=4 (1)
设AN的斜率为k，则AM的斜率为-1/k
直线AN方程：y=kx+1
直线AM方程：y=-x/k+1
将AN方程代入（1），整理：(4k²+1)x²+8kx=0
∴Xn=(-8k)/(4k²+1),Yn=(1-4k²)/(4k²+1),
将AM方程代入（1），整理：(k²+4)x²-8kx=0
Xm=(8k)/(k²+4),Ym=(k²-4)/(k²+4)
直线MN的斜率=-[[(1-4k²)/(4k²+1)-(k²-4)/(k²+4)]/[(8k/(4k²+1)+8k/(k²+4)]]=-(1-k^4)/5k(k²+1)
直线MN方程：y-(1-4k²)/(4k²+1)=-[(1-k^4)/5k(1+k²)]*[x+8k/(4k²+1)]
化简：y=[(1-k^4)/5k(1+k²)]x-5/3
当x=0时，y=-5/3过定点（0，-5/3）