Question

已知x^2+xy+y^2=7,x^2-xy+y^2的最大值为m，最小值为n，求m+n

Answer 1

设a=x^2-xy+y^2
因为x^2+xy+y^2=7
所以x^2+y^2=7-xy，xy=-(x^2+y^2-7)

a=7-2xy时，
因为xy<=(x^2+y^2)/2=7/2 - xy/2,
xy<=7/3
当且仅当x=y时取等号
因为xy|max=7/3
所以-xy|min=-7/3
所以n=a|min=7-2xy|min=7- 2*(-7/3)=7/3

a=2(x^2+y^2)-7时，
因为x^2+y^2>=2xy=-2(x^2+y^2-7),
x^2+y^2>=14/3
当且仅当x^2=y^2是取等号
所以x^2+y^2|max=14/3
所以m=a|max=2 * 14/3 - 7=7/3

所以m+n=14/3