Question

数列an是公比为1/2的等比数列，且1－a2是a1与1 a3的等比中项，前n项和为Sn.数列bn是等差数列，b1＝8

前n项和Tn满足Tn＝nλ×b(n+1)
1，求数列an的通项公式及λ的值
2，比较1/T1+1/T2+…+1/Tn与1/2 Sn的大小

Answer 1

（1-a2）×(1-a2)=a1×a3
(1-a1×q)×(1-a1×q)=a1×a1×q×q
解的a1=1,所以an=(1/2)^(n-1),Sn=2-(1/2)^(n-1),1/2 Sn=1-(1/2)^(n-2)
由题意设bn=8+(n-1)×d
所以Tn=8n+(n-1)nd/2,又因为Tn＝nλ×b(n+1)
（8-d/2)n+n×nd/2=8nd+n×ndλ
解得d=4,λ=1/2
所以Tn=4(n+1)n,1/Tn=1/4(1/n-1/n+1),所以
1/T1+1/T2+…+1/Tn=1/4（n/n+1）
由此可知当n≥2时
1/T1+1/T2+…+1/Tn＜1/2 Sn