Question

已知：如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A(3,0),点B(0，√3)。以线段AB为一边作等边△ABC，

且点C在反比例函数y=m/x的图像上。
（1）求一次函数解析式；
（2）求m的值；
（3）O是原点，在线段OB的垂直平分线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于1/2m，若存在，求出P点的坐标；如不存在，请说明理由。

Answer 1

解:(1)点B为(0,√3),则b=√3;
一次函数y=kx+√3又过点A(3,0),则:0=3k+√3, k= -√3/3.
即一次函数解析式为:y=(-√3/3)x+√3.
(2)AB=√(OA²+OB²)=2√3=2OB,则∠OAB=30° ;
又⊿ABC为等边三角形,则AC=AB=2√3;∠BAO=60°,∠BAC=90°.
点C(3,2√3)在y=m/x上,则m=xy=6√3.
(3)1/2m=(1/2)x6√3=3√3.
①当点P在第一象限时,作PE垂直X轴于E,则PE=OB/2=√3/2;设AE=a.
S⊿ABP=S梯形PEOB-S⊿PEA-S⊿AOB
即3√3=(√3/2+√3)*(3+a)/2-(√3/2)*a/2-3*√3/2, a=9/2.
OE=OA+AE=3+9/2=15/2,即P为(15/2,√3/2);
②当点P在第二象限时,同理相似可求得点P为(-9/2,√3/2).