Question

高等数学极限问题，设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值。

请问A与B，C与D分别是什么方面阐述的?
本题的正确答案应该是什么?
这种题目应该怎么分析，谢谢。

Answer 1

A,B从极大值的定义吧这方面考虑吧，a为内点，在a近旁，f(x)<=f(a),f(x)-f(a)一定是小于等于0的，C,D选项如果非要说从哪方面考虑，我觉得是连续函数的性质以及极限的四则运算，极限符号和函数可以交换，x->a时候，f(x)->f(a)相当于先让x->a，然后作用f得到f(a),也就是下面的式子，limf(x)=f(limx) ,极限的四则运算就不说了.....

Answer 2

选D
A与B大小无法确定 由于x-a的正负无法确定 而f(x)-f(a)<=0
D中f(t)-f(a)<=0 而(t-x)^2>0所以D正确

Answer 3

审题啦！发掘题中已知条件：f(x)在x=a的某个邻域内连续【x∈(a - δ, a+ δ)】，且f(a)为其极大值
这个条件告诉我们 任意x∈(a - δ, a+ δ)，有 f(x)<=f(a) 即 f(x)-f(a)<=0
接下来就对照选项分析了： 当x∈(a - δ，a)时，即x<a时，才有(x-a)[f(x)-f(a)]>=0，此时【A】才正确； 当x∈(a,a +δ)时，即x>a时，才有(x-a)[f(x)-f(a)]<=0 ，此时【B】才正确！
当x->a 时，f(x)->f(a)【因为f(x)在x=a的某个邻域内连续】 ， 由上面分析知：f(t)-f(a)<=0 【
f(a)为其极大值】 且 (t-x)^2>0
所以 lim(x->a)[ f(t)-f(x)]/(t-x)^2=lim(x->a)[ f(t)-f(a)]/(t-x)^2<=0 【极限的保号性，因为f(t)-f(a)/(t-x)^2<=0，极限存在一定是<=0 的！！！】
选【D】