Question

c:x^2/4 y^/7=1,q∈c,求q到l:3x-2y-16=0的距离的最大值

Answer 1

最常用方法是利用椭圆参数方程结合点线距公式。
还可以柯西不等式方法:
1=x²/4+y²/7
=(3x)²/36+(-2y)²/28
≥(3x-2y)²/64
→-8≤3x-2y≤8
→-24≤3x-2y-16≤-8
→(8√13)/13≤|3x-2y-16|/√13≤(24√13)/13
→(8√13)/13≤d≤(24√13)/13.
故点Q到L距离
最大值为(24√13)/13，最小值为(8√13)/13。

以下补充最常用的方法:

依椭圆参数方程，设点Q(2cosθ,√7sinθ)，
则依点线距公式得
d=|3·2cosθ-2·√7sinθ-16|/13
=|8cos(θ+φ)-16|/13(其中tanφ=√7/3)
∴cos(θ+φ)=1时，
点Q到直线L距离最小值为(8√13)/13;
cos(θ+φ)=-1时，
点Q到直线距离最大值为(24√13)/13。