Question

用定义证明函数y=1+2x/x，当x趋近0时的无穷大。

我想问问数学高手 我为什么算的δ=1/M-2, 但是答案是δ=1/M+2.。我用的方法是：
对于任意M>0,当x趋近0时。即0<|x-0|<δ.
有|f(x)|>M, 带入f(x)化简到 |x|<1/M-2, 然后使δ=1/M-2，即可以满足。

Answer 1

应该是δ=Min{1/2,1/(M+2)}，意思是δ取1/2与1/(M+2)两个数中较小的那个。
要使|(1+2x)/x|=|(1/x)+2|>M，因为|(1/x)+2|≥1/|x|-2，
所以只要1/|x|-2>M，即1/|x|>M+2，即|x|<1/(M+2)，
注意，在应用三角不等式|(1/x)+2|≥1/|x|-2时，我们是假定1/|x|>2的，即|x|<1/2的，否则1/|x|-2是负数，不可能大于正数M的，所以|x|<1/(M+2)与|x|<1/2是应该同时满足的。
以上是δ的一般取法，对于本题，由于在M>0的条件下，总有
1/(M+2)<1/2，所以直接取δ=1/(M+2)是可以的。

爱问上的，链接粘不上

追问

那为什么不能直接 用|(1+2x)/x|=|x/1+2|<M . 因为定义是|f(x)|<M. 然后化简为|x|<1/M-2，定义中 0<|x-0|<δ 即 0<|x|<δ， 让 δ=1/M-2变可啊 请问 这么的解发哪里的问题。 因为我觉得这样定范围感觉像是在猜|(1/x)+2|≥1/|x|-2。 我也可以写成|(1/x)+2|≥1/|x|-3，|(1/x)+2|≥1/|x|-4，这样也行啊。

追答

│a│=│(a+b)－b│≤│a+b│＋│b│。再在等式两边同时减去│b│。就得到：│a│－│b│≤│a＋b│。
它用到了这个公式，且这里的假设是x小于1/2的。
但M-2你不能确定他的正负，所以在不等式两边不能随便除过去

Answer 2

|f(x)|=|1/x-2|>M==>|1/x|-2>M