Question

在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,P是BC上的一点，PE⊥BD于E,PF⊥AC于F.PE＝PF

(1)如图，若PE＝根号3，OE＝1，求∠EOF
(2)若P是BC的中点，E是OB的中点，且DE＝BC＋3根号2－4，求BC的长

Answer 1

联结op
因为pe⊥bd，pf⊥ac
所以∠peo=∠pfo=90°
因为pe=pf，op=op，△peo和△pfo为直角三角形
所以△peo≌△pfo
所以∠eop=∠fop
因为oe=1，pe=根号3
所以∠eop=60°
所以∠eop=∠fop=60°
因为∠eof=∠eop+∠fop
所以∠eof=120°

因为p是bc中点，e是ob中点
所以pe为△boc中位线，ob=2oe
所以pe∥oc
所以∠peb=∠cob
因为∠peb=90°
所以∠cob=90°
所以ac⊥bd
因为∠pfc=90°
所以∠pfc=∠cob
所以pf∥ob
因为p是bc中点
所以f是oc中点
所以oc=2of
因为△peo≌三角形pfo
所以oe=of
所以ob=oc
因为ac，bd为对角线
所以bd=2ob，ac=2oc
所以bd=ac
因为ac⊥bd，四边形abcd为平行四边形
所以四边形abcd为正方形
令oe=x
de=3x，bc=(2根号2)x
3x=(2根号2)x+3根号2-4
求出x即可