Question

高数 二重积分 关于判断函数的奇偶性

1 请问积分下限为0或者积分下限为a是否影响奇偶性？
2 累次积分是否可以先判断内积分，再用奇偶性的性质复合判断?
3 本题的正确选项。
我期待你犀利的解说，谢谢。

Answer 1

D
f(x)为奇函数==>∫(0->x)f(t)dt ∫(a->x)f(t)dt是偶函数
f(x)为偶函数==>∫(0->x)f(t)dt奇函数 ∫(a->x)f(t)dt不确定
累次积分先内后外 A ∫(0->x)f(u)du 偶=>A不确定
BC为奇函数 D∫(a->x)xf(u)du 是奇函数因为对u积分，与x无关可以看做常数

Answer 2

1 .这里应该不影响。由F(x)=∫(a,x)f(x)dx f(x)为奇函数。
F(-x)=∫(a,-x)f(x)dx，对积分作代换x=-y, F(-x)=-∫(-a,x)f(-y)dy)=∫(-a,x)f(y)dy
区间(-a,x)=(-a,a)+(a,x)，而奇函数f(y)在(-a,a)的积分为0.故F(-x)=F(x)
2.可以的。
3.选D
f的积分为偶函数，乘以x为奇函数，再积分为偶函数。