Question

请写出步骤

函数 f(x)=(mx+n)/(1+x^2) 是定义在（-1，1）上奇函数且f(1/2)=2/5
(1)求f(x)的解析式
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数

Answer 1

1）因为是奇函数，所以f(-1/2)=-f(1/2)=-2/5
得，f(1/2)=(m/2+n)/(1+（1/2）^2)=2/5
f(-1/2)=(-m/2+n)/(1+（-1/2）^2)=-2/5

得，m=1，n=0，
所以，f(x)=x/(1+x^2)
2）设f(x)上有两点（x1，y1）和（x2，y2），且x1>x2，在（-1，1）内
所以y1-y2=f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
以为，x1和x2在（-1，1）内，所以，x1x2<1，1-x1x2>0,
且x1>x2，x1-x2>0

所以y1-y2>0，
所以，f(x)在(-1,1)上是增函数

Answer 2

解：1）f(x)为奇函数，并且定义域为（-1,1），∴F(0)=0 ∴n=0 ∴f(x)=(mx)/(1+x^2)
f(1/2)=m/2 ÷ （1+1/4）=2/5 ∴m= 4/5 ∴f(x)=4/5×x/(1+x^2)

2）-1<x1<x2<1