Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E，F分别是AB，AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证：DE=DF

Answer 1

证法1:∵∠EDF+∠EAF=180°.
∴点A,E,D,F四点共圆;
又∵∠EAD=∠FAD(已知).
∴DE=DF.(同圆中相等的圆周角所对的弦也相等)

证法2:(实在看不到你的图,无法知道AE与AF的大小关系,先假设一下吧!)
若AE>AF,在AE上截取AG=AF;又AD=AD,∠GAD=∠FAD.
∴⊿GAD≌⊿FAD(SAS),DG=DF;∠AGD=∠AFD.
∵∠EDF+∠EAF=180°.
∴∠AED+∠AFD=180° ,则∠AED+∠AGD=180° .
故∠AED=∠DGE(同角的补角相等);
∴DE=DG=DF.(等量代换)

Answer 2

假设AE＞AF【你可看你的图而定，我给你提供方法】
在AE上截取AG=AF，连接DG
∵AG=AF，∠GAD=∠FAD，AD=AD
∴⊿AGD≌⊿AFD（SAS）
∴DG=DF，∠AGD=∠AFD
∵∠EDF+∠EAF=180º
∴∠AED+∠AFD=180º【四边形内角和360º】
∵∠AGD+∠EGD=180º
∴∠AED=EGD
∴DE=DG
∴DE=DF