Question

有道关于圆和切线的数学题不懂··谢谢！！

若直线L: 2x+3y+a=0 是圆C: x^2 +y^2 +4x-y+1=0 的切线，
(a) 求a的可能值。
(b) 对于每个a的值，求C与L的交点坐标。
我只学过点到点的距离公式，点到直线的距离公式没学过···

Answer 1

x²+y²+4x-y+1=0
(x+2)²+(y-1/2)²=13/4
圆心为(-2，1/2)，半径R=√13/2
1，|-4+3/2+a|/√(2²+3²)=R=√13/2
|a-5/2|/√13=√13/2
|a-5/2|=13/2
那么a-5/2=13/2，或a-5/2=-13/2
所以a=9，或a=-4
2，分别把a=9，或a=-4代入直线方程中，然后与圆的方程联立
就可以分别求出交点坐标了
当a=-4时，x=-1，交点坐标为(-1，2)；
当a=9时，x=-3，交点坐标为(-3，-1)

追问

点到直线的距离公式没学过···
有没有别的方法？？

追答

有，但是比较复杂，就是将直线方程2a+3y+a=0与圆的方程x²+y²+4x-y+1=0联立起来，
消去y，变成关于x的二次方程：13x²+(4a+42)x+a²+3a+9=0
然后直线与圆相切，说明此二次方程只有一个实数根
那么判别式Δ=(4a+42)²-4×13×(a²+3a+9)=0，然后求出a就可以了。
你看，这个计算就比较麻烦了…………

Answer 2

x^2 +y^2 +4x-y+1=0
(x+2)^2+(y-1/2)^2-4-1/4+1=0
(x+2)^2+(y-1/2)^2=13/4
圆心 （-2,1/2）半径 （根号13）/2
点到直线距离公式
|2*-2+3*1/2+a|/根号（4+9）=（根号13）/2
|a-5/2|=13/2
a=9或-4

交点坐标设为（x,y）
2x+3y+a=0
(x+2)^2+(y-1/2)^2=13/4
将a=9,-4分别代入
得
交点坐标为（-1,2）或（-3，-1）

Answer 3

1】先求圆心坐标，跟圆的半径，由圆心点到直线L间的距离等于圆的半径可求出a的值
2】由第一题中求出的a代入直线方程 ，联立直线方程与圆的方程便可求出交点坐标
实在懒得去计算所以直接说解题思路咯 嘿嘿

点P(X,Y)到直线Ax+By+C=0的距离为

|AX+BY+C| 除以 根号下(A^2+B^2)

追问

我就是没学过点到直线的距离公式啊！！