Question

一道比较难的高数题，问题在下？

设对于任意光滑有向闭曲面S , 都有∮∮x f ( y ) dy dz + y f ( x ) dz dx - z [ b+ f ( x + y ) ] dx dy = 0,其中函数f ( x ) 在(- ∋ , + ∋ ) 内连续, 且f ( 1) = a( a, b 都是常数) , 求f ( 2010) .

Answer 1

设P=xf(y)，Q=yf(x)，R=-z[b+f(x+y)]，积分恒为零，则
P对y的偏导数≡Q对x的偏导数
Q对z的偏导数≡R对y的偏导数
R对x的偏导数≡P对z的偏导数
得f'(x+y)=0，所以f(x)是常函数，f(x)≡a。
f(2010)=a

追问

不对呀，那时二重积分，是让你求原函数的，为何要求导，而且就求一次。

追答

哦，公式用错了，应该用高斯公式。设P=xf(y)，Q=yf(x)，R=-z[b+f(x+y)]，根据高斯公式，
曲面积分恒为零，则P对x的偏导数＋Q对y的偏导数＋R对z的偏导数≡0，所以
f(y)+f(x)-b-f(x+y)=0，
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(2)=2f(1)-b=2a-b
f(3)=f(2)+f(1)-b=3a-2b
f(4)=....=4a-3b
....
由归纳法可得f(n)=na-(n-1)b，所以f(2010)=2010a-2009b