Question

高中数学必修四数学题

若函数f（x）=3sin（ωx+φ）对任意实数x，都有f（x+π/3)=f(π/3-x），则f（π/3）=？

Answer 1

由于f（x+π/3)=f(π/3-x），所以sin(ωx+ωπ/3+φ)=sin(-ωx+ωπ/3+φ),利用两角和公式展开：
sin(ωx)cos(ωπ/3+φ)+cos(ωx)sin(ωπ/3+φ)=-sin(ωx)cos(ωπ/3+φ)+cos(ωx)sin(ωπ/3+φ),
化简得：2sin(ωx)cos(ωπ/3+φ)=0.
即对任意的x，有sin(ωx)cos(ωπ/3+φ)=0，所以只能cos(ωπ/3+φ)=0,则sin(ωπ/3+φ)=1或-1.
所以f（π/3）=3sin(ωπ/3+φ)=1或-1.

Answer 2

解：由函数的对称性，知
因为f(x+π/3)=f(π/3-x)，所以函数f(x)的图像关于直线x=π/3成轴对称，
于是知，函数f(x)在x=π/3处取得最值(最大值或最小值)，即sin(ωx+φ)=1或-1，
所以f(π/3)=3或-3。

Answer 3

f（x+π/3)=f(π/3-x），因此，x=π/3是函数的对称轴，又因为该函数是三角函数，所以f（π/3）=1或f（π/3）=-1

Answer 4

+-3. （π/3为对称轴）