求函数z=xy2在圆域x2+y2小于等于1上的最大值和最小值
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依题意可设
x=cosθ，y=sinθ.
z=xy²
=cosθsin²θ
=cosθ(1-cos²θ)，
∴z²=(1/2)·2cos²θ·(1-cos²θ)·(1-cos²θ)
≤(1/2)·[(2cos²θ+2-2cos²θ)/3]³
=4/27.
∴-(2√3)/9≤z≤(2√3)/9.
所求最大值为z|max=(2√3)/9;
所求最小值为z|min=-(2√3)/9。
x=cosθ，y=sinθ.
z=xy²
=cosθsin²θ
=cosθ(1-cos²θ)，
∴z²=(1/2)·2cos²θ·(1-cos²θ)·(1-cos²θ)
≤(1/2)·[(2cos²θ+2-2cos²θ)/3]³
=4/27.
∴-(2√3)/9≤z≤(2√3)/9.
所求最大值为z|max=(2√3)/9;
所求最小值为z|min=-(2√3)/9。
追问
可以用拉格朗日乘数发法吗
追答
可以。但我用初等数学解决。
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TableDI
2024-07-18 广告
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