Question

过点P(2,3)向圆上x^2+y^2=1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线方程为

为什么AB⊥OP

Answer 1

问题比较简单，没有那么复杂。
设 A(x1,y1),B(x2,y2)为两个切点，
过A的切线方程为 L1：x1*x+y1*y=1
点P(2,3)在L1上，2x+3y=1,
点A在L1上，2x1+3y1=1
过B的切线方程为 L2：x2*x+y2*y=1
点P(2,3)在L2上，2x+3y=1
点B在L0上，2x2+3y2=1
即A,B的坐标都适合方程 2x+3y=1
所以A,B在 2x+3y=1上
弦AB所在直线方程为：2x+3y=1,或2x+3y-1=0。
(这里需要一点知识：过圆 x^2+y^2=r^2上一点（a,b)的切线为 ax+by=r^2)

Answer 2

因为PA是圆的切线，因此OA丄PA（这是切线定理），
所以，|PA|^2=OP^2-OA^2=2^2+3^2-1^2=12 ，
因此以 P 为圆心，|PA| 为半径的圆的方程为 (x-2)^2+(y-3)^2=12 ，
AB是两圆的公共弦，所以，所在直线方程为
[(x-2)^2+(y-3)^2-12]-[x^2+y^2-1]=0 ，
展开消项得 -4x-6y+2=0 ，
化简得 2x+3y-1=0 。

Answer 3

两个三角形明显是全等的，OP平分AB，由于OAPB四点共圆，而OP就是直径，根据垂径定理得AB垂直OP