Question

数学难题 （需要过程）

请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0~9当中的某些数字组成的无穷长的一串数中，都有某两个相邻的数字，是你所选取出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。
（1）请你说明：11这个数必须选出来；
（2）：37和73这两个数当中至少要选出一个；
（3）你能选出55个数满足要求吗？

Answer 1

先选出第三题的55个数
11
21 22
31 32 33
41 42 ……44
51 52 …… 55
61 …… 66

71 …… 77
81 …… 88
91 …… 99
01 …… 00
这55个数就可以满足条件。
过程：
解：
1·假设11不选，存在111111。。。。111不满足条件，所以假设不成立。故11必选。同理22、33、44、55、66、77、88、99、00、必选
2·假设37 73都不选，存在373737373737.。。。。。。73737373737不满足条件，所以假设不成立。故必须选一个。同理两位调换以后必须选一个。
3·由1,2得，上边的表。

Answer 2

1·假设11不选，存在111111......111不满足条件，所以假设不成立。故11必选。同理22、33、44、55、66、77、88、99、00、必选。
2·假设37 73都不选，存在373737373737......与......73737373737不满足条件，所以假设不成立。故必须选一个。同理两位调换以后相同的必须选一个。
另外对于第三题，显然你的问题中的二维数组中漏掉了00这个数组。加上00后才是55个数。具体如下：由第一题与第二题的启发，你可以知道以下这55个数（或它的对立的数，如楼上给出的那样）是必选的（若它们中的任一个没有被选出来，则有相应的无穷数列不满足你给的条件【由一二题得】）
00,11,22,33，......99；01----09；12----29；23----29；34----39；45----49；56----59；67----69；78----79；89。
以上仅仅说明这55个数是必须选的，以下说明它们也是满足要求的
证：从任一个无穷数列中任意拿出两个二维数组，即四个数字 （AB) (CD) ，若这里有A小于等于B或C小于等于D，则按我上面那55个数的取法，必有某两个相邻的数字AB或CD，是我所选取出的那些数中当中的一个。这样的数列是符合要求的。
接下来对于A大于B并且C大于D的情形，观察B与C：若B等于C或B小于C，则这数列还是符合要求的，剩下的就只有B大于C的情形了，而B大于C时在这时有关系 A大于B，B大于C，C大于D，即此时这四个数字是单调递减的，在（CD）右边再取（EF），再次证得CDEF单调递减，类似下去，这样的过程不是无尽的，到后来递减到了数字0，而00----09我们是选了的。
证毕。