Question

已知f(x)=x/(x-a) (x≠a):(1)若a=-2试证明f(x)在x≤-2内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单减，求x范围

已知f(x)=x/(x-a) (x≠a):(1)若a=-2试证明f(x)在x≤-2内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单减，求x范围

Answer 1

已知f(x)=x/x-a(x≠a)
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减，求a的取值范围。
解：(1)a=-2代入函数得：f(x)=x/(x+2)=(x+2-2)/(x+2)=1-2/(x+2)即f(x)=1-2/(x+2)设1<X1<X2<+∞，则X1-X2>0
f(X1)-f(X2)=1-2/(X1+2)-[1-2/(X2+2)]=-2/(X1+2)+2/(X2+2)=(2X1+4-2X2-4)/(X1+2)(X2+2)=2(X1-X2)/(X1+2)(X2+2)
∵X1-X2>0∴当 X2<X1<-2时(X1+2)<0 (X2+2)<0
∴(X1+2)(X2+2)>0分子分母均>0
∴f(X1)-f(X2)>0
∴当X2<X1<-2时f(X2)<f(X1)此函数为递增函数。
(2)f(x)=x/(x-a)
任取x1，x2令1<x1<x2<+∞
有f(x1))-f(x2)=x1/(x1-a)-x2/(x2-a)=a(x2-x1)/(x1-a)(x2-a)
∵f(x)在(1,+∞)内单调递减
∴f(x1))-f(x2)>0又x2-x1>0, a>0
∴(x1-a)(x2-a)>0
∴a的取值范围为：0<a≤1