Question

急急急！！已知定义域为（0，正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0，正无穷），恒有f(2x)=2f(x)成立

已知定义域为（0，正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0，正无穷），恒有f(2x)=2f(x)成立，且当x∈（1，2]时 ，f(x)=2-x ，求f(x)的分段解析式！

Answer 1

f(x)=2^(n+1)-x x∈（2^n，2^(n+1)] n∈整数（正负皆可）
具体解法
当x∈（2^n，2^(n+1)]时， n∈整数（正负皆可）
由于f(2x)=2f(x） x∈（2^n，2^(n+1)]
所以f(x)=2f(x/2） x/2∈（2^(n-1)，2^n]
=2^2f(x/(2^2)) x/(2^2)∈（2^(n-2)，2^(n-1)]
=2^3f(x/(2^3)) x/(2^3)∈（2^(n-3)，2^(n-2)]
=……
=2^nf(x/(2^n)) x/(2^n)∈（2^0，2^1]=∈(1，2]
又因为 当x∈（1，2]时 ，f(x)=2-x 代入上式
得到
f(x)=2^nf(x/(2^n))=2^n[2-x/(2^n)]=2^(n+1)-x x∈（2^n，2^(n+1)] n∈整数（正负皆可）