Question

已知函数f(x)=ax^3-2bx^2+cx+4d的图像关于原点对称,且当x=-1时,f(x)取得极小 值-2/3.

(1)求函数解析式f(x).(2)当x∈[-1,1]时，图像上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？是证明你的结论。(3)x1,x2∈[-1,1]时，求证|f(x1)-f(x2)|≤4/3 求详细解答过程

Answer 1

f(x) = ax³ - 2bx² + cx + 4d
f'(x) = 3ax² - 4bx + c

(1)
f(-x) = - f(x) ：a(-x)³ - 2b(-x)² + c(-x) + 4d = -(ax³ - 2bx² + cx + 4d)
f(0) = 0：4d = 0
f'(-1) = 0：3a + 4b + c = 0
f(-1) = -2/3：-a - 2b - c + 4d = -2/3

a = -1/3 , b = 0 , c = 1 , d = 0
f(x) = -x³/3 + x

(2)
f'(x) = -x² + 1
x ∈ [-1,1]：f'(x)∈[ 0, +∞)
f'(x1)f'(x2) ≠ -1
当x∈[-1,1]时，图像上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直

追问

还有第三小题啊

追答

(3)
|f(x1) - f(x2)|

= |(-x1³/3 + x1) - (-x2³/3 + x2)|
= |x1 -x2||x1² + x1x2 + x2² - 3|/3
-2 ≤ x1 -x2 ≤ 2

1 ≤ x1² + x1x2 + x2² ≤ 3
|f(x1) - f(x2)| ≤ 4/3

Answer 2

此函数关于原点对称则有f（x）=-f（-x）且f（0）=0解得d=0，b=0原函数为f(x)=ax^3+cx
又当x=-1时,f(x)取得极小 值-2/3即f（-1）=-2/3且f’（-1）=0（导数为0）
解得a=-1/3，c=1故原函数是f（x)=-1/3x^3+1x
2问也就是是否在x∈[-1,1]时，有f‘（x1）*f（x2）=-1求的f（x)=1/3x^3+x的导数是-x^2+1则f‘（x1）*f（x2）=(-x1^2+1)*(-x2^2+1)=-1很显然x1，x2无解不存在
3问f（x）在[-1,1]单调递增，有最小值-2/3最大值2/3也就是-2/3=<f(x1)=<2/3。。。1式
-2/3=<f(x2)=<2/3,即-2/3=<-f(x2)=<2/3。。。二式
1式与2式相加有-4/3=<f(x1)-f(x2)≤4/3
即|f(x1)-f(x2)|≤4/3

Answer 3

1 因为f(x)关于原点对称，所以f(x)是奇函数，根据f(-x)=-f(x)，可知b=d=0
因为f(-1)=-2/3 且f'(-1)=0 所以a+c=2/3 3a+c=0联立可得a=-1/3 c=1所以f(x)=-1/3x^3+x
2 f('x)=-x^2+1当x∈[-1,1]时。f'(x)∈[0,1]所以在[-1,1]中任何一点的切线的斜率必然是大于等于零的，所以不可能存在两点，是的次两点出的切线互相垂直。
3 因为f(x)在[-1,1]中的导函数是恒大于等于零的，所以在此区间是单调递增的，且极大值是f(1)=2/3
极小值f(-1)=-2/3 所以|f(x1)-f(x2)|≤|f（x1）|+|f(x2)|≤2/3+2/3=4/3
有点乱，在电脑上不如在纸上写，好多符号不好打出来。希望对你有所帮助