如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，MN是中位线，求证：MN=CH
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证明：过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E
∵AB∥CD，CE∥BD
∴平行四边形BDCE
∴CE＝BD，BE＝CD
∴AE＝AB+BE＝AB+CD
∵等腰梯形ABCD中AD＝BC
∴∠DAB＝∠CBA
∵AB＝AB
∴△ABD≌△BAC （SAS）
∴BD＝AC
∴CE＝AC
∵AC⊥BD，CE∥BD
∴AC⊥CE
∴等腰直角△ACE
∵CH⊥AB
∴CH＝AH＝EH＝AE/2 （三线合一）
∴CH＝（AB+CD）/2
∵MN是中位线
∴MN＝（AB+CD）/2
∴MN＝CH
∵AB∥CD，CE∥BD
∴平行四边形BDCE
∴CE＝BD，BE＝CD
∴AE＝AB+BE＝AB+CD
∵等腰梯形ABCD中AD＝BC
∴∠DAB＝∠CBA
∵AB＝AB
∴△ABD≌△BAC （SAS）
∴BD＝AC
∴CE＝AC
∵AC⊥BD，CE∥BD
∴AC⊥CE
∴等腰直角△ACE
∵CH⊥AB
∴CH＝AH＝EH＝AE/2 （三线合一）
∴CH＝（AB+CD）/2
∵MN是中位线
∴MN＝（AB+CD）/2
∴MN＝CH
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