Question

高中数学：周期函数

如何证明函数f(x+2)=1/f(x)为周期函数，并求其最小正周期

Answer 1

令x=x+2，代入f(x+2)=1/f(x)，得：f（x+4）=1/f（x+2），因为f(x+2)=1/f(x)，所以1/f（x+2）=f（x），所以f（x+4）=1/f（x+2）= f（x），所以最小正周期为4

Answer 2

f(x+2)=1/f(x)
令x+2=t，则x=t-2,
代入得f(t)=1/f(t-2),
所以f(x)=1/f(x-2),
又f(x+2)=1/f(x)
所以f(x+2)=f(x-2)
所以是周期函数。
最小正周期是4.

Answer 3

周期为4，只要证明f（x+4）=f（x）即可，证明过程：因为f(x+2)=1/f(x),所以f(x+4)=1/f(x+2)=f(x)

Answer 4

f(x+4)=f[(x+2)+2]=1/f(x)=1/[1/f(x)]=f(x)

所以，f(x)是周期函数，最小正周期是4。

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Answer 5

f(x)*f(x+2)=1
令x=x+2 f(x+2)*f(x+4)=1
所以 f(x)=f(x+4)
所以f(x)是周期=4的周期函数