Question

高中数学：函数的奇偶性

已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a、b∈R，都有f(ab)=af(b)+bf(a)
（1）求f(0)、f(1)的值
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明
要详细的解释哦，谢谢

Answer 1

解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）2]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数．（仅供参考）

追问

懂了

追答

由问题我们就知道ab=0.。代入到后面分解后的式子上

Answer 2

1、f(ab)=af(b)+bf(a)
f(0×0)=0f(0)+0f(0)=0
f(1)=f(1)+f(1)=0
2、f(ab)=af(b)+bf(a)
∵f(-ab)=-af(b)+bf(-a)
f(ab)=af(b)+bf(a)
∴f(ab)+f(-ab)=bf(-a)+bf(a)
∵f(ab)=-af(-b)-bf(-a)
f(-ab)=af(-b)-bf(a)
∴f(ab)+f(-ab)=-bf(-a)-bf(a)
∴bf(-a)+bf(a)=-bf(-a)-bf(a)
bf(-a)=-bf(a)
f(a)=﹣f(﹣a)
所以是奇函数

Answer 3

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