Question

已知函数f(x)=ax^2+1/bx+c(a,b, c属于R)是奇函数，f(1)=2,f(2)=3 (1)求a,b,c的值。(2)证明:x>根号2/2时...

已知函数f(x)=ax^2+1/bx+c(a,b, c属于R)是奇函数，f(1)=2,f(2)=3 (1)求a,b,c的值。(2)证明:x>根号2/2时，f(x)为增函数

Answer 1

∵函数f(x)=﹙ax2+1﹚/﹙bx+c﹚(a,b,c∈N）是奇函数
∴f﹙﹣x)=[a﹙-x﹚²+1]/[b﹙﹣x﹚+c]≡﹣f(x)=﹣﹙ax2＋1﹚/﹙bx＋c﹚
即﹙ax²＋1﹚/﹙﹣bx+c﹚≡﹙ax²＋1﹚/﹙﹣bx－c﹚
∴,c=-c
∴c=0
即f(x)=﹙ax2+1﹚/﹙bx﹚
∵f(1)=2,
∴﹙a＋1﹚/b=2,
∴a+1=2b
f(2)=3
∴﹙4a＋1﹚/﹙2b﹚=3
,4a＋1=6b
∴a=2,b=3/2
即f(x)=﹙2x²+1﹚/﹙3/2·x﹚=)=﹙4/3·x²+2/3﹚/x
设√2/2＜x1＜x2,则x1-x2＜0
f(x1)-f(x2)=)=﹙4/3x1²+2/3﹚/x1)-﹙4/3x2²+2/3﹚/x2
=4/3﹙x1-x2﹚＋2/3﹙x2-x1﹚/﹙x1x2﹚
=4/3﹙x1-x2﹚[1-1/﹙2x1x2﹚]
∵√2/2＜x1＜x2
∴x1x2＞1/2
∴0＜1/x1x2＜2
∴0＜1/﹙2x1x2﹚＜1
∴1-1/﹙2x1x2﹚＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
∴f(x)=﹙4/3x²+2/3﹚/x当x＞√2/2时递增