Question

为什么利用等价无穷小的性质求极限一定要化到乘除法才能用？

我一开始以为等价无穷小应用的条件是limf（x）符合极限的四则运算，可是通过做题发现不对。但是不知道为什么加减式子中的一部分不能利用等价无穷小。
像lim（x→0）（tgx-sinx）/（sinx）^3。分母上就不能直接tgx～x ，sinx～x，请问这是为什么 ？为什么加减法时不能直接利用等价无穷小。

Answer 1

原因在于等价无穷小的定义：
f(x)~g(x) (x->a) 它的意思是 lim(x->a) f(x)/g(x)=1.........................................(1)
而在求极限时利用等价无穷小替换,本质上是做了个变换: 将f(x)化为 [f(x)/g(x)]*g(x), 然后利用极限的四则运算，以及(1)式来解决为题。
看两个例子 如果要求极限 lim(x->a) f(x)/h(x), 此时可以替换，因为
lim(x->a) f(x)/h(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)}/h(x)=lim(x->a) [f(x)/g(x)]*[g(x)/h(x)]
=lim(x->a) g(x)/h(x)
但是如果求极限 lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x)。虽然也可以做变换，但是变完以后，不能用（1）
lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)
由极限四则运算的应用条件可以知道，你现在不能把其中的 f(x)/g(x) 这一部分单独用（1）来求极限。

追问

不能把其中的 f(x)/g(x) 这一部分单独用（1）来求极限 这是因为什么

追答

lim(x->0) [x-x^2]/x
你能把上面的x先求极限 变成 lim(x->0) [0-x^2]/x 吗？

追问

你的意思就是lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)中的分子分母有可能不满足极限四则运算中的除法运算，是吧？

追答

算式lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)中有加减运算，你不能由
lim(x->a) f(x)/g(x)=1. 而得到
lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)=lim(x->a) {g(x)-h(x)}/m(x)

追问

那不就是lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)中的分子分母有可能不满足极限四则运算中的除法运算 所以它不能应用等价无穷小，是吗

Answer 2

这是因为等价无穷小实际上是洛比达法则的一种应用，而在洛比达法则中要求f（x）不能是加减形式。

追问

洛比达法则？洛比达法则不是通过柯西中值定理推导出来的吗
您能具体说说您的回答吗

Answer 3

是不能直接利用，查阅考研书

追问

我查过好多资料 但都是经验之谈。没有一个是具有理论依据的，请问您有没有具有说服力的证明过程

追答

因为我不清楚，所以才说你自己查考研书。