Question

己知f(x)=lnx+a/x-1,a∈R,(Ⅰ)若函数f(x)的最小值为0,求a的值;(Ⅱ)证明

e∧x+(lnx-1)sinx＞0

Answer 1

(Ⅰ)
解：
f(x)=lnx+a/x-1的定义域：x>0
f'(x)=(lnx+a/x-1)'
=1/x-a/x²
=(x-a)/x²
f'(x)>0，解得x>a
f'(x)=0，解得x=a
f'(x)<0，解得x<a
所以， f(x)=lnx+a/x-1在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，在x=a处取最小值 f(a) 。
f(a)=lna+a/a-1=lna
依题意，lna=0
所以，a=1

追答

(Ⅱ)
证明：
f(x)=[e^x+(lnx-1)sinx)]
定义域：x>0
f'(x)=[e^x+(lnx-1)sinx)]'
=e^x+sinx/x+(lnx-1)cosx
显然，无法得到 f'(x)=0的解析解。
所以采用计算机作图辅助解题。
作f(x)的图像，见附图
由图像可得，
f(x)>0
得证。

Answer 2

第一题，求导，得出x=a时取极值，分类讨论，得出a=1

追答

第二问和第一问有关系？。。