Question

高一数学

（05年重庆卷文）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是
A．4 B．5
C．6 D．7

Answer 1

设第k个正方体的边长是A（k），则有A（1）=2，且A（k+1）=A(k) x √2/2;从而A（n）=2x
(√2/2)^(n-1);
再设所需的正方体的个数是n，显然在塔堆到第二层的时候，总的表面积是两个正方体的表面积减去第二层正方体的一个面的面积的两倍，堆到第三层的时候，总的表面积是三个正方体的表面积减去第二层正方体的一个面的面积的两倍，再减去第三层正方体的一个面的面积的两倍，以此类推：
堆到第n层的时候，塔的表面积是：每一层正方体的表面积减去第2个，第3个，……第n个正方体的一个面的面积的两倍，也就是：
6[ A(1)xA(1)+A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]-2[A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]
=4[A(1)xA(1)+A(2)xA(2)+……A(n)xA(n)]+2[A(1)xA(1)]
=4[4+4x(1/2)+4x(1/2)^2……+4x(1/2)^(n-1)]+2x2x2
=4x4x[1+(1/2)+(1/2)^2+……+(1/2)^(n-1)]+8
=16[2-(1/2)^n]+8>39
解上述不等式得到n>5;
所以n的值最少应该是6

Answer 2

选B吧
最底层的棱长是2，那么一个面的面积是2*2=4，不考虑底面有这样的面4+1/2=9/2个，因为上面的面的4个小三角形可以看做1/2个面
往上面走类似，都有9/2个面在外面，并且上面的面的面积依次是前一个的一半
那么算4个正方体的表面积=9/2（4+2+1+1/2）+4+1/2=38.25
5个的表面积=9/2（4+2+1+1/2+1/4）+4+1/4=43.875
所以是5个

Answer 3

应该有四个 最底层表面积2*2*6=24
第二个表面积√2*√2*6=12
最上面表面积√2/2*√2/2*6=3
24+12+3=39
所以至少是四个 选A 这是我自己算的 不一定是完全正确的答案哦

Answer 4

这样看看，最底下边长2，上边的边长计算为根号2，上边单个面面积是2，也就是，每一层的单个面面积是下边的1/2，所以
第一层，5*4=20
第二层，4*2=8
第三层，4*1=4
第四层，5*0.5=2.5

所以有4个正方体

Answer 5