Question

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+……+19×20

Answer 1

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+19*20
=1*2+（2*3+3*4）+（4*5+5*6）+（6*7+7*8）+……+（18*19+19*20）
=2*1²+2*3²+2*5²+2*7²+2*9²+……+2*19²
=2*（1^2+3^2+5^2……+19^2)

而1²+3²+5²+..........(2n-1)²=n(4n^2-1)/3
这里 n=10
1-20所有奇数的平方和=20*(4*20^2-1)/3=1330

所以1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+19*20 ＝1330*2=2660

Answer 2

1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3
2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3
......
19×20=(19×20×21-18×19×20)÷3

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+……+19×20
=19×20×21÷3
=2660

Answer 3

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+……+19×20
=2*（C2 2+C3 2+C4 2+……+C20 2）
=2*（C3 3+C3 2+C4 2+……+C20 2）
=2*C21 3=2*21*20*19/(3*2*1)
=2660