高等数学 定积分的一道题
请问：证明（1）需要什么样的代换，这一类型题目多次出现，请问一般的代换手法是什么?(2)问如何用（1）的结论。谢谢!...
请问：证明（1）需要什么样的代换，这一类型题目多次出现，请问一般的代换手法是什么?
(2) 问如何用（1）的结论。谢谢! 展开
(2) 问如何用（1）的结论。谢谢! 展开
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第一题用t=PI-x,利用对称性，积分区域为（0，PI），sin(pi-x)=sinx,主要是函数本身性质
这个是sin在（0，pi）的轴对称
第二题，显然最后一项积分为常数（一个定积分）记为C
两边同乘sinx，则f(x)sinx=xsinx/(1+cos^2 x)+csinx
两边（-PI,PI)积分f(x)sinx=-pi积分符号pi x*sinx/(1+cos^2 x)+0(由于sin为奇函数，对称性）
于是等式右边可用上式，左边=C
右边=2*PI/2* 0积分符号PI sin/(2-sin^2x)
所以C=pi^2/2
所以f(x)=x/(1+cos^2 x)+pi^2/2
这个是sin在（0，pi）的轴对称
第二题，显然最后一项积分为常数（一个定积分）记为C
两边同乘sinx，则f(x)sinx=xsinx/(1+cos^2 x)+csinx
两边（-PI,PI)积分f(x)sinx=-pi积分符号pi x*sinx/(1+cos^2 x)+0(由于sin为奇函数，对称性）
于是等式右边可用上式，左边=C
右边=2*PI/2* 0积分符号PI sin/(2-sin^2x)
所以C=pi^2/2
所以f(x)=x/(1+cos^2 x)+pi^2/2
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