Question

y'+xsin2y=x^3(cosy)^2解这个微分方程把(cosy)^2除过去，然后左边可以看成是(x^2 tgy)'/x=x^3，为什么不对

我的解法是这样的，把(cosy)^2除过去，得到(secy)^2 乘以y'+2xtgy=x^3.然后左边可以看成是(x^2 tgy)'/x=x^3，为什么答案不对？

Answer 1

(x^2 tgy)'/x=x(secy)^2·dy+2tgy·dx 并不相等
我提供下面一个方法
(secy)^2 ·y'+2xtgy=x^3
（tgy)'+2xtgy=x^3
令tgy=u
那么u'+2xu=x^3 然后利用伯努利方程的一阶线性方程公式（公式太麻烦了打不出来）
u=e^-x²（∫x^3·e^x²dx+C）
对∫x^3*e^(x^2)dx 求解
=(1/2)∫x^2*e^(x^2)d(x^2)
令x^2=t，则：
=(1/2)∫t*e^tdt
=(1/2)∫t*d(e^t)
=(1/2)*[t*e^t-∫e^tdt]
=(1/2)*[t*e^t-e^t]
=(1/2)*e^t*(t-1)
=(1/2)*e^(x^2)*(x^2-1)
u=(1/2))*(x^2-1)+(e^-x^2)C
那么y=arctgu=arctg[(1/2))*(x^2-1)+(e^-x^2)C]