Question

在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). 1求数列{an}的通项

2、若λan+1/an+1≥λ对任意n≥2恒成立，求实数λ的取值范围
3、设bn=√an，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞2/3[根号﹙3n+1﹚ -1]

Answer 1

首先证明an≠0(n>=1)，这个用反证法很好证，然后再像一楼一样求解，第一问就解决了。an= 1/（3n -2）。
对于第二问，由第一问结论，an的范围是(0,1]，将λan+1/an+1≥λ变换：1/an+1≥λ(1-an)，（n=1恒成立，因此只讨论n>=2，即an<=1/4的情形)
(1/an+1)/(1-an)≥λ，不等式左边看成一个关于an的函数，定义域为(0,1/4]，可以得出其最小值为20/3，当且仅当an=1/4(n=2时)。因此λ<=20/3为所求范围。

第三问用数学归纳法，只需要证明1/√3n+1>2/3(√3n+4-√3n+1)，右边分母有理化一下，最后再整理:√3n+4+√3n+1>2√3n+1，这是显然的。

Answer 2

3anan-1+an-an-1=0
两边同时除以anan-1得
1/an-1 - 1/an +3=0
1/an=1/an-1 + 3
1/an= 3n -2
an= 1/（3n -2）