Question

一道简单的函数题目

已知函数y=f(x),x属于R是偶函数，且x属于[a,b](0<a<b)上是减函数，求证y=f(x)在x属于[-b,-a]上是增函数。

Answer 1

由于函数y=f(x),x属于R是偶函数，f(x)关于Y轴对称，f(-x)=f(x0,且f(b)<f(a),单调
又因为x属于[a,b](0<a<b)上是减函数，而x属于[-b,-a]与x属于[a,b](0<a<b)在区间上关于Y轴对称
所以f(-b)=f(b)，f(-a)=f(a)，所以f(-b)<f(-a),又因为f(x)在[-b,-a]上单调
所以y=f(x)在x属于[-b,-a]上是增函数

Answer 2

函数y=f(x),x属于R是偶函数
故f(-x)=f(x) x属于R
f(x) x属于[a,b](0<a<b)上是减函数
故f(x)的导数<0 x属于[a,b](0<a<b)
若 x属于[-b,-a] 则 -x属于[a,b]
f(-x)的导数=-(f(-x)的导数)>0
故y=f(x)在x属于[-b,-a]上是增函数。

Answer 3

即a<x1<x2<b时
减函数则f(x1)-f(x2)>0

所以-b<-x2<-x1<-a时
由偶函数
f(-x2)-f(-x1)
=f(x2)-f(x1)<0
所以-b<-x2<-x1<-a时f(-x2)<f(-x1)
所以是增函数

Answer 4

x属于[a,b](0<a<b)上是减函数,所以
f(a)>f(b),

函数y=f(x),x属于R是偶函数
f(a)=f(-a)
f(b)=f(-b)
f(-a)>f(-b)
所以为增函数