在△ABC中，AB=AC=2，P为BC边上任一点，求AP的平方+BP乘以PC
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证明：
设P为BC上任意一点，作AD⊥BC
根据勾股定理得：
AP^2＝AD^2＋BD^2
因为AB＝AD，AD⊥BC
所以根据“三线合一”性质得BD＝CD
所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD)
＝(BD－PD)(BD＋PD)
＝BD^2－PD^2
所以
AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2＋BD^2－PD^2
＝AD^2＋BD^2
因为由勾股定理得：
AD^2＋BD^2＝AB^2
AB＝2
所以AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2
＝AB^2
＝4
设P为BC上任意一点，作AD⊥BC
根据勾股定理得：
AP^2＝AD^2＋BD^2
因为AB＝AD，AD⊥BC
所以根据“三线合一”性质得BD＝CD
所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD)
＝(BD－PD)(BD＋PD)
＝BD^2－PD^2
所以
AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2＋BD^2－PD^2
＝AD^2＋BD^2
因为由勾股定理得：
AD^2＋BD^2＝AB^2
AB＝2
所以AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2
＝AB^2
＝4
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