Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF垂直于X轴，直线AB交Y轴于点P。

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF垂直于X轴，直线AB交Y轴于点P。若PA的绝对值=6，AP向量=2PB向量，求椭圆的方程.

Answer 1

设左焦点为F1，右焦点为F2，
∵向量AP=2PB，
∴|AP|=2|PB|，
连结BA，BF2,
∵BF1//Y轴，
∵|AP|/|PB|=|OA|/|F1O|=2，
|OA|=a,
|OF1|=c,
∴a=2c,
∵|PA|=6,
|PB|=3，
|AB|=9，
|F1F2|=2c=a,
根据椭圆定义，|BF1|+|BF2|=2a,
在△BF1F2中，根据勾股定理，BF1^2+F1F2^2=BF2^2,
设|BF1|=m,
m^2+a^2=(2a-m)^2,
m=3a/4,
|F1A|=c+a=a/2+a=3a/2,
在△BF1A中，根据勾股定理，
BF1^2+F1A^2=BA^2,
m^2+(3a/2(^2=9^2,
(3a/4)^2+(3a/2)^2=81,
a^2=144/5,
a=12√5/5，
c=a/2=6√5/5，
b^2=a^2-c^2=108/5,
∴椭圆方程为：5x^2/144+5y^2/108=1.

追问

答案不一样，正确答案是X2/16+Y2/12=1

追答

若按你的答案，则|BA|=3√5，|PA|=2√5，和已知|PA|=6不符。

故要得你的答案，则已知条件要改为|PA|=2√5，不是6。