Question

已知：抛物线y=ax2+bx+c过点（-5,0）、（0,2/5）（1,6）三点,直线L的解析式为y=2x-3

若与直线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。

Answer 1

先把已知的三点带入得到方程组
0=25a-5b+c
2.5=c
6=a+b+c
得出抛物线为y=0.5x2+3x+2.5

如果只有一个交点，即y=2x+m代入抛物线得一方程0.5x2+x+2.5-m=0只有一根
即其判别式△=b2-4ac=-4+2m=0解得m=2
然后将m值代入方程0.5x2+x+2.5-m=0得x=-1代入直线y=2x+m得y=0
所以P点坐标为（-1，0）

Answer 2

解：把（-5,0）、（0,2/5）（1,6）带入抛物线y=ax2+bx+c，可得
25*a-5*b+c = 0，c = 2/5及a+b+c = 6，联立这三个方程可得a=23/25,b=351/75,c=2/5
所以
y=23/25*x^2+351/75*x+2/5 （1）
设与y=2x-3平行的直线L为
y=2x+k （2）
（1）和（2）联立有x=-67/46+(1/46)*sqrt(3569+2300*k)或-67/46-(1/46)*sqrt(3569+2300*k)
因为L与抛物线仅有一个交点，所以sqrt(3569+2300*k)=0，从而k = -3569/2300
故y=2*(-67/46)-3569/2300=-10269/2300
综上P为（-67/46，-10269/2300）

Answer 3

由已知三点代入得出抛物线为y=0.5x^2+3x+2.5
与直线L平行的直线H:y=2x+h
直线H与抛物线交点方程为：2x+h=0.5x^2+3x+2.5
即x^2+2x+5-2h=0，方程的解有一个
即判别式 2^2-4*（5-2h）=0
得h=2，直线H:Y=2X+2
方程的解x=-1，y=-1*2+2=0
交点P(-1,0)