Question

设各项均为正数的等比数列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40。设bn=log2(an)。

（1）求数列{an},{bn}的通项公式
（2）若c1=1,c(n+1)=cn+(bn/an),求证：cn<3.

Answer 1

（1）a3+a5/a1+a3=40/10,既q2=4，既q=2，带入a1+4a1=10，既a1=2，既an=2^n
既bn=n
（2）由题意得c(n+1)-cn=(bn/an)既c(n+1)-cn=n/2^n
c2-c1=1/2
c3-c2=2/2^2
c4-c3=3/2^3
········
c(n+1)-cn=n/2^n
_____________
c(n+1)-c1=1/2+2/2^2+3/2^3+·········+n/2^n
由错位相减法得
c(n+1)-c1=2-n+2/2^n
既c(n+1)=c1+2-（n+2/2^n）=3-（n+2/2^n）既cn=3-（n+1/2^n-1）
因为（n+1/2^n-1）>0恒成立,所以cn<3.

Answer 2

目测第二个放缩